DISKRIPSI MIND MAP LOGIKA BAGIAN 3

Hukum-hukum Aljahar Proposisi

(Aturan Penggantian)

Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Di bawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi.

1. Hukum Idempoten (Idem)

           a.  pp ek p              b.  pp ek p

2. Hukum Asosiatif (As)

a.       (p  q)  r ek p  (q  r)

b.      (p q)  r ek p  (q r)

3. Hukum Komutatif (Kom)

a.       p  q ek q  p

b.      p q ek q  p

     4. Hukum Distributi f (Dist)

a.       p  (q  r) ek (p  q)  (p  r)

b.      p  (q  r) ek (p  q) (p  r)

     5. Hukum Identitas (Id)

           a.  p  F ek p              c.  p  F ek F

           b.  p  T ek T             d.  p  T ek p

     6. Hukum Komplemen (Komp)

a.       p  -p ek T

b.      p  -p ek F

c.       -(-p) ek p

d.      -T ek F

     7. Hukum Transposisi (Trans)

           pq ek

     8. Hukum Implikasi (Imp)

           pq ek

     9. Hukum Ekivalensi (Eki)

a.       pq ek (pq) (qp)

b.      pq ek (p q) (-q -p)

     10. Hukum Eksportasi (Eksp)

           (pq)r ek p(qr)

     11. Hukum De Morgan (DM)

a.        ek

b.       ek

9. Argumen

Perhatikanlah sekumpulan proposisi pada contoh berikut.

Contoh 8.8

1) (a). Jika seseorang orang Indonesia maka is belum pernah ke bulan

     (b). Habibie orang Indonesia

     (c). Habibie belum pernah ke bulan

Pada sekumpulan proposisi 1), proposisi (c) ditegaskan dari proposisi (a) dan (b). Oleh karena itu sekumpulan proposisi 1) disebut argumen. Selanjutnya proposisi (c) disebut konklusi dari argumen dan proposisi (a) dan (b) disebut premis dari argumen.

Argumen tersebut dapat dinyatakan dengan benta spesifik sebagai berikut.

Argumen (dalil   ) adalah sekumpulan proposisi sedemikian hingga salah satu dari proposisinya ditegaskan atas dasar proposisi lainnya. Proposisi yang ditegaskan tersebut disebut konklusi, sedang yang menegaskan disebut premis.

Setiap argumen mempunyai premis dan konklusi. Yang dimaksud konklusi auatu agumen adalah proposisi yang ditegaskan berdasarkan proposisi­proposisi yang lainnya dari argumen tersebut. Sedangkan proposisi-proposisi yang menegaskan yang memberikan alasan untuk diterimanya konklusi disebut premis. Predikat untuk suatu argumen bukan benar atau salah tetapi salt atau tidak salt. Benar atau salah adalah predikat untuk proposisi.

10. Kesahan Argumen

Definisi 8.9

Suatu argumen dikatakan sah jika argumen tersebut dinyatakan dalam suatu implikasi sedemikian sehingga premis-premisnya merupakan anteseden, konklusinya merupakan konsekuen, dan implikasi tersebut merupakan implikasi logis.

Contoh

Penyelesaian:

Argumen tersebut dinyatakan dalam implikasi:

[(p  q)  p] q . Selanjutnya dibuktikan apakah implikasi tersebut implikasi logis?

Untuk pembuktian tersebut ada dua cara yaitu:

1. Dengan tabel kebenaran

2. Dengan aturan penggantian

Cara I:

[(p		q)		p]		q
T	T	T	T	T	T	T
T	F	F	F	T	T	F
F	T	T	F	F	T	T
F	T	F	F	F	T	F
1	2	I	3	1	4	I

Cara II:

[(p  q)  p] q                      

ek  [] q          (Imp)

ek [(p  ) ] q                 (DM)

ek [(p  ) ()] q       (Dist)

ek [T ()] q             (Komp)

ek () q                             (Id)

ek ()                           (Ass)

ek T                                 (Komp)

ek T                                              (Id)

Kesimpulan: argumen

                    pq

                    p

 q                                                         

adalah argument yang sah.

Contoh 8.10.

Selidiki dengan table kebenaran apakah argument berikut sah.

                    pq

                    q

 p

Penyelesaian:

[(p		q)		q]		p
T	T	T	T	T	T	T
T	F	F	F	F	T	T
F	T	T	T	T	F	F
F	T	F	F	F	T	F
1	2	1	3	1	4	1

Ternyata [(p  q)  q] p kontingensi. Maka argument tersebut tidak sah.

11. Metode Deduksi

(Bukti Formal Kesahan Argumen)

Pada pasal 10 sudah dikategorikan bahwa untuk membuktikan kesahan argumen dapat dilakukan dengan mengunakan tabel atau dengan bukti formal. Kita maklumi bahwa pembuktian kesahan suatu argumen yang mengandung banyak proposisi elementer dengan tabel kurang praktis. Apalagi cara tersebut tidak mengembangkan pandangan kita tentang hubungan antara argumen­-argumen dan hukum-hukum penggantian. Di samping itu cara tersebut tidak menambah pengetahuan karena hanya bekerja secara mekanik. Cara lain untuk membuktikan kesahan argumen yang lebih baik dan lebih singkat dengan bukti formal adalah dengan menggunakan hukum-hukum penggantian dan juga aturan penyimpulan seperti yang tercantum berikut ini.

Aturan Penyimpulan

1.      Modus Pones (MP)

          pq

          p

 q

2.      Modus Tolens (MT)

          pq

         

 

3.      Silogisme (Sil)

          pq

          qr

 pr

4.      Destruktif Silogisme (DS)

          pq

         

 q

5.      Konstruktif Delema (KD)

          (pq) (rs)

          pr

 qs

6.      Destruktif Delema (DD)

          (pq) (rs)

         

 

7.      Simplifikasi (Simp)

          pq

 p

8.      Adisi (Ad)

          P

 pq

9.      Konjungsi (Konj)

          p

          q

 pq

12      Aturan Bukti Bersyarat

 (ABB)

Pada pasal 11 telah diketengahkan bagaimana cara membuktikan kesahan argumen dengan bukti formal. Salah satu cara yang digunakan dikenal dengan bukti formal dengan cara langsung dan disingkat dengan Bukti Langsung (BL). Akan tetapi tidak semua argumen dapat dibuktikan dengan bukti langsung. Cara lain untuk membuktikan kesahan argumen dengan bukti formal yaitu dengan Aturan Bukti Bersyarat (ABB).

Catatan yang perlu diingat bahwa:

1.      ABB dapat digunakan apabila konklusi argumen tersebut merupakan implikasi.

2.      Prosedur pembuktian ABB yaitu menarik anteseden dari konklusi menjadi premis barn (premis            tambahan) dan konsektiennya merupakan konklusi dari argumen.

Prosedur ABB dapat dilakukan karena didasarkan pada prinsip eksportasi bahwa p(qr) ek (pq)r. Kita ingat bahwa ada hubungan yang erat antara argumen sah dengan implikasi logis sehingga kebenaran prosedur ABB mudah kita terima dengan penjelasan berikut.

Lang-kah	Argumen	Implikasi Logis
1	P   /  A  C	P (A  C)
2	P A   /  C	(P  A) C

Penjelasan di atas menunjukan bahwa karena P(AC) ek (PA)C maka argument  P   /  A  C  sah dan argument P, A  / C   juga sah.

Keterangan di atas akan lebih mudah diterima dengan memperhatikan contoh berikut.

Contoh 8.14

Buktikan kesahan argumen berikut dengan ABB.

1.      (a  b) (c  d)

2.      (d  e)  f    /  a  f

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa konklusinya berbentuk implikasi a f dengan anteseden a dan konsekuen f sehingga ABB dapat digunakan.

1.      (a  b) (c  d)   

2.      (d  e)  f    /  a  f      

3.      a     /  f                    asumsi

4.      a  b                      (3 Add)

5.      c  d                    (1,4 MP)

6.      d                           (5 Simp)

7.      d  e                           (6 Add)

8.      f                                   (2,7 MP)

9.      a  f              (3 s.d. 8 ABB)

 (Terbukti).

Catatan:

1.      Baris 9 di dapat bukan didasarkan dari baris 4 s.d. 8 akan tetapi merupakan penjelasan bahwa asumsi no 3 yaitu a dengan menggunakan proposisi 1,2,4,5,6, dan 7 didapat no 8 yaitu f. Oleh karena itu nomor 9 yaitu a —> f di luar skup dan proposisi tersebut merupakan konklusi.

2.      Dengan ABB argumen tersebut dapat dibuktikan hanya dengan 9 Iangkah. Bandingkan dengan cara Bukti Langsung.

Berikut ini disajikan dengan Bukti Langsung.

1.      (a  b) (c  d)    

2.      (d  e)  f    /  a  f

3.      () (c  d)    1 Imp

4.      [() c]  [() d]         3 Dist

5.      () d 4 Simp

6.      () d   5 DM

7.      ()  ( d)    6 Dist

8.                7 Simp

9.      a  d          8 Imp

10.  () f  2 Imp

11.  () f   10 DM

12.  ()  ( f)      11 Dist

13.             12 Simp

14.  d  f           13 Imp

15.  a  f           9,14 Sil

(Terbukti)

1.       Reductio Ad Absordum (Bukti Tak Langsung)

Pada pasal 11 sudah diketengahkan bahwa untuk membuktikan kesahan argumen dengan bukti formal dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu:

1)      dengan Bukti Langsung

2)      dengan Aturan Bukti Bersyarat.

Di samping kedua cara di atas masih ada cara lain yaitu dengan Bukti Tak Langsung (BTL).

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

1)      Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan).

2)      Dengan menggunakan aturan penyirnpulan dan hokum penggantian ditunjukkan adanya kontradiksi.

3)      Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal menggunakan prinsip Adisi dan Distributif Silogisme.

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh berikut ini.

Contoh 8.16

Buktikan kesahan argumen berikut dengan BTL.

1.     

2.      (

3.            / e

bukti:

1.     

2.      (

3.            / e

4.                               asumsi

5.                     2,4 MT

6.                                    5 DM

7.                                          6 Simp

8.         6 Simp

9.                 3 Imp

10.  a                                 9,8 MP

11.                                 1,10 MP

12.  b 11 Simp

13.                              7,12 Konj

14.                                 12 Add

15.  e                                      14,7 DS

(Terbukti)

Catatan:

1)      Langakh ke 13 menunjukkan adanya kontradiksi sebab b  b ek F.

2)      Setelah ditemukan adanya kontradiksi langkah berikutnya Adisi dan terakhir Distributif Silogisme.

Kuantor Universal        dan Kuantor Eksistensial

Kuantor Universal

Untuk setiap x, P(x) disebut kuantor universal.

Kuantor Universal

Untuk bebrapa, paling sedikit satu x, P(x) disebut kuantor eksistensial.

Misalkan x himpunan warga negara Indonesia, P predikat membayar pajak.

                      artinya semua warga negara membayar pajak

                      artinya ada beberapa warga negara membayar pajak.

Negasi dari Kuantor

                                 , semua warga negara membayar pajak

artinya ada warga negarayang tidak  membayar pajak

,ada beberapa warga negara membayar pajak.

artinya semua warga negara tidak membayar pajak.