Diskripsi Mind Map HIMPUNAN

HIMPUNAN

Pengertian Himpunan :

                Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

Notasi dan Anggota Himpunan

•       Suatu himpunan dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

•       Anggota atau elemen adalah setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan. Anggota dinotasikan dengan ϵ  dan bukan anggota dinotasikan ϵ

•       Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).

Cara Menyatakan Himpunan

1. Dengan kata-kata

                contoh : P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}

2. Dengan notasi pembentuk himpunan

                contoh : P : {bilangan prima antara 10 dan 40}. Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis P = {X 10 < x < 40, x ϵ bilangan prima}.

3. Dengan mendaftar anggota-anggotanya

                contoh : P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

                                                A = {1, 2, 3, 4, 5}

Macam-macam Himpunan

1)      Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan dinotasikan dengan { } atau Ø .

                contoh himpunan kosong :

1. R = {x | x < 1, x ϵ C}
2. A = Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua

                contoh bukan himpunan kosong :

1. B = Himpunan bilangan prima genap
2. C = Himpunan segitiga samakaki yang tumpul

2)Himpunan Semesta

                Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan.

    Himpunan semesta dilambangkan dengan S.

                Contoh :

                                T = {4,6,8}

                                Himpunan semestanya dapat berupa :

                                                S = {bilangan asli}

                                                S = {bilangan cacah}

                                                S = {bilangan genap positif kurang dari                                   10}

3)Himpunan Berhingga

                Suatu himpunan disebut himpunan berhingga bila banyak anggota himpunan menyatakan bilangan tertentu, atau dapat juga dikatakan suatu himpunan disebut berhingga bila anggota-anggota himpunan tersebut dihitung, maka proses penghitungannya dapat berakhir.

                Contoh :

                                P= {bilangan cacah kurang dari 6}

                                Atau P = {0,1,2,3,4,5}

                Himpunan P jumlah anggotanya dapat dihitung

yaitu sebanyak 6 buah.

4)Himpunan Tak Berhingga

                suatu himpunan disebut himpunan tak berhingga bila banyaknya anggota himpunan tersebut tidak dapat dinyatakan dengan bilangan tertentu.

                Contoh :

                P = {bilangan genap}

                Ditulis P= {2,4,6,8,....}

Diagram Venn

•       Diagram venn adalah suatu gambar lingkaran atau ellips yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan.

                                Untuk himpunan semesta, diagram yang digunakan biasanya memakai bentuk persegi panjang. Dan nama himpunan semestanya atau S ditulis di pojok kiri atas.

Hubungan Antar Himpunan

•       Himpunan Lepas/Saling Lepas/Saling Asing

Dua buah himpunan dikatakan himpunan lepas apabila kedua himpunan anggota-anggotanya tidak ada yang sama atau tidak berkaitan(saling lepas)

Contoh:

                C={4,5,6}              D= {1,2}

Himpunan C dan D dikatakan himpunan lepas, karena tidak ada anggotanya yang sama.

Hubungan himpunan lepas biasanya dilambangkan dengan “ //”

•       Himpunan Tidak Saling Lepas/ Berpotongan

Dua buah himpunan dikatakan himpunan tidak saling lepas bila kedua himpunan tersebut anggota-anggotanya ada yang sama atau ada keterkaitan (berpotongan)

                Contoh:

                F={a,b,c}   G={c,d,e}

                Ditulis dengan notasi o

• Himpunan di  Dalam Himpunan

Himpunan A disebut himpunan bagian dari B ditulis AcB jika dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x anggota B. Dapat ditulis AcB ↔  xϵA maka xϵB

Himpunan Bagian Sejati

                A disebut himpunan bagian sejati dari B jika dan hanya jika AcB dan B c A.

                contoh:

                Diketahui A ={0,2,4,6} B={0,2,4,6,8}

C={x| x bilangan cacah genap kurang dari 9}

                Jelas bahwa:

1. A himpunan bagian sejati B
2. Ø bukan himpunan bagian sejati C

                Dalam beberapa buku sebutan A himpunan bagian sejati B ditulis dengan AcB dan sebutan C himpunan bagian sejati D ditulis dengan CcD.

Dua Himpunan yang Sama

                Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang sama, ditulis A=B jika dan hanya jika anggota-anggota A tepat sama dengan anggota-anggota B artinya setiap anggota A ada di B dan setiap anggota B ada di A dan dapat ditulis: A=B ↔ AcB dan BcA. 

                Contoh :

                                K={7,8,9}              L={7,8,9}

                himpunan K dan L dikatakan sebagai himpunan yang sama, karena anggotanya tepat sama (7,8,9)

Hubungan himpunan yang sama biasanya dilambangkan dengan “=“

Dua Himpunan yang Ekivalen

                Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang ekivalen, ditulis AB jika dan hanya jika:

1. n(A) = n(B), untuk A dan B  himpunan berhingga.

2. A dan B berkorespondensi satu-satu, untuk A dan B himpunan tak berhingga.

Contoh:

D= {4,5,6}  E= {d,e,f}

Himpunan D dan E dikatakan Ekivalen, karena tidak ada anggotanya yang sama tapi jumlah anggotanya sama yaitu 3.

Atau dapat dikatakan n(D)=n(E).

Ditulis dengan notasi      ̴

OPERASI HIMPUNAN

1. Irisan Dua Himpunan

Irisan (intersect) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut.

2. Gabungan Dua Himpunan

                Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Gabungan A dan B ditulis AUB adalah himpunan semua anggota yang berada dalam A atau B atau dalam A dan B.

                Gabungan himpunan A dan B dapat dinotasikan:

AUB = {x| xϵA atau xϵB}

 

3. Komplemen

                Jika P adalah suatu himpunan dan S adalah himpunan semesta, maka yang disebut komplemen dari himpunan P (P’) terhadap S adalah himpunan semua anggota di dalam himpunan semesta yang bukan menjadi anggota P.

                Komplemen dapat ditulis dengan simbol ( ‘ )

                Contoh:

                                S={3,4,5,6,7}       P={4,5}

                                P’={3,6,7}

4. Selisih Dua Himpunan

                Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Selisih himpunan A dan B ditulis A-B adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota B.

                Selisih dua himpunan dapat dinotasikan

Contoh:

A={4,5,6,7}                          B={3,4}

A-B={5,6,7}

5. Perkalian Dua Himpunan

                Misalkan A dan B himpunan-himpunan. Perkalian silang dari A dan B ditulis AxB adalah himpunan semua pasangan terurut (a,b) dengan a ϵA dan bϵB.

Perkalian dua himpunan dapat dinotasikan:

Contoh:

Diketahui A={a,b} dan B={1,2,3},maka

1. A X B ={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
2. B X A ={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Ternyata AXB=BXA

Sifat-sifat Operasi pada Himpunan

1. Idempoten                                                         6. Komplement

                a. A ∩ A = A                                                        a. A U A’= U

                b. A U A = A                                                        b. A ∩A’=Ø

2. Asosiatif                                                         c. (A’)’=A

                a. (A ∩ B)∩C = A ∩(B ∩C)                             d. U’=Ø

                b. (A U B)UC = A U (B U C)                            7. De Morgan

3. Komutatif                                                       a. (A U B)’=A’ ∩B’

                a. A ∩B=B ∩A                                    b. (A ∩B)’=A’U B’

                b. A U B= B U A                                 8. Absorpsi

4. Distributif                                                      a. A ∩(A U B)=A

                a. A U(B ∩C)=(A U B) ∩(A U C)                   b. A U (A ∩B)=B

                b. A ∩ (B U C)=(A ∩ B) U (A ∩ C)

5. Identitas

                a. A U Ø=A

                b. A U U= U

                c. A ∩ Ø= Ø

                d. A ∩ U= A