Mathematics
Kamis, 29 November 2012
Sabtu, 10 November 2012
Diskripsi mind map logika bag 2
1. Proposisi
(Pernyataan) Elementer
Perhatikan kalimat pada contoh 8.1
di bawah ini.
1)
Semarang Ibu Kota Jawa Tengah
2)
a faktor dari 6
3)
Dua adalah bilangan ganjil
4)
Mudah-mudahan lulus ujian
5)
2+ 6 = 8
6)
x faktor dari 5
7)
5 + 4 < 7
8)
Selesaikan soal di bawah
9)
x + 5 = 9
10) x - 2 < 7
Kalimat pada contoh 8.1 yang merupakan pernyataan adalah
1, 3, 5, dan 7 sebab kalimat tersebut sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya
(benar atau salah). Nilai kebenaran pernyataan di atas berturut-turut: benar,
salah, dan salah.
Definisi 8.1
Pernyataan adalah kalimat
yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).
Pernyataan pada contoh 8.1 sering disebut pernyataan
elementer dan selanjutnya dinyatakan dengan simbol p, q, r, s, dan seterusnya.
2. Proposisi Komposit
Misalkan p, q masing-masing
proposisi elementer, maka proposisi berikut ini merupakan proposisi komposit.
Jadi dapat disimpulkan bahwa
Definisi 8.2
Proposisi komposit adalah
proposisi yang memuat perangkai
|
Propo-
sisi komposit
|
Dibaca
|
Disebut
|
|
p A q
|
p bil q
|
Konjungsi
|
|
p v q
|
p atau q
|
Disjungsi
|
|
p → q
|
jika p maka q
|
Implikasi
|
|
p ↔ q
|
p jika dan
hanya jika q
|
Biiinplikasi
|
 |
ingkaran p
|
Negasi
|
Ada
lima perangkai, yaitu:
dan 
.
3.
Nilai Kebenaran Proposisi Komposit
|
p
|
q
|
p
 q |
p
 q |
p
 q |
p
 q |
-
 |
|
T
T
F
F
|
T
F
T
F
|
T
F
F
F
|
T
T
T
F
|
T
F
T
T
|
T
F
F
T
|
F
F
T
T
|
Contoh 8.2
Diketahui proposisi elementer:
p : Tidak ada segitiga sama kaki yang tumpul
q : Fungsi identitas merupakan fungsi satu-satu
r : Ada belch ketupat yang merupakan
persegi panjang.
Tentukan nilai kebenaran dari proposisi di bawah ini:
a. p, q, dan r
b. q
r
r
c. q
r
r
d. pr
r
Penyelesaian:
a. F, T, dan T
b. F
c. T
d. h.
Catatan:
Proposisi komposit dapat dibentuk dari tiga proposisi elementer p, q, dan q atau dari n buah proposisi elementer p1, p2,
p3, …, pn.
4. Tabel Kebenaran
Ada dua cara untuk membuat tabel
kebenaran dari proposisi komposit.
Contoh 8.3
Buatlah tabel kebenaran proposisi di
bawah ini.
a. p(p q) c. p(
)
(p q) c. p()
b.(pq)p d. (pq)r
q)p d. (pq)r
Penyelesaian:
a.
cara I
|
p p
|
Q
|
p
q |
p
(pq) |
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
T
|
b.
Cara I
|
p
|
q
|
p
q |
(p
q)p |
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
T
|
Cara
II
|
(P
|
|
q)
|
|
P
|
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
|
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
|
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
|
|
1
|
2
|
1
|
3
|
1
|
|
c. cara I
|
p
|
q
|
p
q |
(
 ) |
p
() |
|
T
T
F
F
|
T
F
T
F
|
T
T
T
F
|
F
F
F
T
|
F
F
F
F
|
Cara II
|
p
|
|
 |
(p
|
|
q)
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
T
F
|
T
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
|
1
|
4
|
3
|
1
|
2
|
1
|
b.
Cara I
|
p
|
q
|
r
|
p
q |
(p
q)r |
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
cara
II
Cara II
|
(p
|
|
q)
|
|
r
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
|
1
|
2
|
1
|
3
|
1
|
Catatan:
Hubungan antara banyaknya proposisi elementer dengan
banyaknya baris pada tabel kebenaran proposisi komposit adalah sebagai berikut.
|
Banyaknya
proposisi elementer |
Banyaknya baris
pada tabel |
|
2
|
4 = 22
22
|
|
3
|
8 = 23
23
|
|
4
|
16 = 24
24
|
|
.
|
.
|
|
n
|
2n
|
5. Tautologi,
Kontradiksi, dan
Kontingensi
Perhatikan
contoh 8.3 b.
Proposisi
(pq)
p selalu bernilai benar untuk
setiap nilai kebenaran dari proposisi
elementernya. Proposisi tersebut disebut tautologi.
q)p selalu bernilai benar untuk
setiap nilai kebenaran dari proposisi
elementernya. Proposisi tersebut disebut tautologi.
Definisi 8.3
Tautologi adalah proposisi komposit yang selalu
bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya.
Perhatikan contoh 8.3 c.
Proposisi
p(pq) selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya.
Proposisi tersebut disebut kontradiksi.
(pq) selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya.
Proposisi tersebut disebut kontradiksi.
Definisi 8.4
Kontradiksi adalah proposisi komposit yang
selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya.
Perhatikan contoh 8.3 a dan d.
Proposisi p
(pq) dan (pq)r masing‑masing
bukan tautologi dan kontradiksi. Proposisi tersebut disebut kontingensi.
(pq) dan (pq)r masing‑masing
bukan tautologi dan kontradiksi. Proposisi tersebut disebut kontingensi.
Definisi 8.5
Kontingensi adalah
proposisi komposit yang bukan tautologi dan kontradiksi.
6. Implikasi
Logis
Perhatikan
implikasi di bawah ini!
a.
p(pq)
(pq)
b.
(pq)p
q)p
c.
p(pq)
(pq)
Ternyata
:
Proposisi
a. kontingensi (contoh 8.3 a.
Proposisi
b. tautologi (contoh 8.3 b.
Proposisi c.
diselidiki sebagai berikut.|
p
|
 |
(p
|
|
q)
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
|
1
|
3
|
1
|
2
|
1
|
Ternyata proporsi p(pq) tautologi.
(pq) tautologi.
Proporsi b. dan c. adalah
implikasi yang merupakan tautologi, dan implikasi tersebut disebut implikasi
logis. Sehingga dapat ditulis dengan
(pq)p
q)p
p(pq)
(pq)
Definisi 8.6
Misalkan P, Q masing-masing proposisi komposit, maka proposisi P
Q disebut implikasi
logis
jika PQ tautologi, dan dapat ditulis PQ.
Q disebut implikasi
logis
jika PQ tautologi, dan dapat ditulis PQ.
Contoh 8.4
Selidiki
dengan tabel kebenaran, manakah yang merupakan implikasi logis.
a. [(
)p]q
)p]q
b. [()p]p
)p]p
c. [()p]
)p]
Penyelesaian:
a. [()p]q
)p]q
 |
 |
|
 |
|
 |
|
 |
   |
|
|
|
|
|
 |
|
 |
 |
 |
|
 |
|
 |
|
b. [()p]p
)p]p
 |
 |
|
 |
|
 |
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c. [()p]
)p]|
[(
 |
p
|
|
q)
|
|
|
q]
|
|
|
p
|
|
F
F
T
T
|
T
T
F
F
|
T
F
T
T
|
T
F
T
F
|
F
F
F
T
|
F
T
F
T
|
T
F
T
F
|
T
T
T
T
|
F
F
T
T
|
T
T
F
F
|
|
2
|
1
|
3
|
1
|
4
|
2
|
1
|
5
|
2
|
1
|
Ternyata:
Proposisi a. tautologi maka implikasi logis
Proposisi b. kontingensi maka bukan implikasi logis
Proposisi c. tautologi maka implikasi logis
7. Ekivalensi
Perhatikanlah proposisi komposit 
dan . Selidikilah apakah
kedua proposisi tersebut bernilai sama?
dan . Selidikilah apakah
kedua proposisi tersebut bernilai sama?
Penyelesaian:
|
p
|
q
|
-p
|
p
q |
-p v q
|
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
Ternyata dan mempunyai nilai
kebenaran yang sama, maka dikatakan bahwa ekivalen , ditulis: ek. .
dan mempunyai nilai
kebenaran yang sama, maka dikatakan bahwa ekivalen , ditulis: ek. .
Definisi 8.7
Misalkan P, Q masing-masing proposisi komposit, maka P
dikatakan ekivalen Q ditulis P ek Q jika P dan Q mempunyai nilai kebenaran yang
sama.
Hukum-hukum Aljahar Proposisi
(Aturan
Penggantian)
Setiap proposisi yang
saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang
lainnya. Di bawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan
deduksi.
1. Hukum Idempoten (Idem)
a. p
p
ek p b. p
p
ek p
p
ek p b. pp
ek p
2. Hukum Asosiatif (As)
a. (p q) r ek p (q r)
q) r ek p (q r)
b. (p 
q) r ek p (q r)
q) r ek p (q r)
3. Hukum Komutatif (Kom)
a. p q ek q p
q ek q p
b. p
q
ek q p
q
ek q p
4.
Hukum Distributi f (Dist)
a. p (q r) ek (p q) (p
r)
(q r) ek (p q) (p
r)
b. p (q r) ek (p q) 
(p r)
(q r) ek (p q) (p r)
5.
Hukum Identitas (Id)
a.
p F ek p c. p
F ek F
F ek p c. p
F ek F
b.
p T ek T d. p
T ek p
T ek T d. p
T ek p
6. Hukum Komplemen
(Komp)
a.
p
-p ek T
-p ek T
b.
p
-p ek F
-p ek F
c.
-(-p) ek p
d.
-T ek F
7.
Hukum Transposisi (Trans)
pq ek 
q ek
8. Hukum Implikasi (Imp)
pq ek
q ek
9. Hukum Ekivalensi (Eki)
a. p
q
ek (pq) (qp)
q
ek (pq) (qp)
b. pq
ek (p q)
(-q
-p)
q
ek (p q) (-q -p)
10. Hukum
Eksportasi (Eksp)
(pq)r
ek p(qr)
q)r
ek p(qr)
11. Hukum De
Morgan (DM)
a. ek 
ek
b. 
ek 
ek
9. Argumen
Perhatikanlah sekumpulan proposisi
pada contoh berikut.
Contoh 8.8
1) (a). Jika seseorang orang Indonesia maka is belum
pernah ke bulan
(b). Habibie orang Indonesia
(c). Habibie belum pernah ke bulan
Pada sekumpulan proposisi 1),
proposisi (c) ditegaskan dari proposisi (a) dan
(b). Oleh karena itu sekumpulan proposisi 1) disebut argumen. Selanjutnya
proposisi (c) disebut konklusi dari argumen dan proposisi (a) dan (b) disebut premis
dari argumen.
Argumen tersebut dapat dinyatakan
dengan benta spesifik sebagai berikut.
Argumen (dalil ) adalah sekumpulan proposisi sedemikian hingga salah satu
dari proposisinya ditegaskan atas dasar proposisi lainnya. Proposisi yang
ditegaskan tersebut disebut konklusi, sedang yang menegaskan disebut premis.
Setiap
argumen mempunyai premis dan konklusi. Yang dimaksud konklusi auatu agumen
adalah proposisi yang ditegaskan berdasarkan proposisiproposisi yang lainnya
dari argumen tersebut. Sedangkan proposisi-proposisi yang menegaskan yang memberikan
alasan untuk diterimanya konklusi disebut premis. Predikat untuk suatu argumen
bukan benar atau salah tetapi salt
atau tidak salt. Benar
atau salah adalah predikat untuk proposisi.
10. Kesahan Argumen
Definisi 8.9
Suatu argumen dikatakan sah
jika argumen tersebut dinyatakan dalam suatu implikasi sedemikian sehingga
premis-premisnya merupakan anteseden, konklusinya merupakan konsekuen, dan
implikasi tersebut merupakan implikasi logis.
Langganan:
Postingan (Atom)