Mathematics

Mathematics

Sabtu, 10 November 2012

Diskripsi mind map logika bag 2


1. Proposisi (Pernyataan) Elementer
Perhatikan kalimat pada contoh 8.1 di bawah ini.
1)      Semarang Ibu Kota Jawa Tengah
2)      a faktor dari 6
3)      Dua adalah bilangan ganjil
4)      Mudah-mudahan lulus ujian
5)      2+ 6 = 8
6)      x faktor dari 5
7)      5 + 4 < 7
8)      Selesaikan soal di bawah
9)      x + 5 = 9
10)  x - 2 < 7
Kalimat pada contoh 8.1 yang merupakan pernyataan adalah 1, 3, 5, dan 7 sebab kalimat tersebut sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Nilai kebenaran pernyataan di atas berturut­-turut: benar, salah, dan salah.
Definisi 8.1
Pernyataan adalah kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).

Pernyataan pada contoh 8.1 sering disebut pernyataan elementer dan selanjutnya dinyatakan dengan simbol p, q, r, s, dan seterusnya.

2. Proposisi Komposit
Misalkan p, q masing-masing proposisi elementer, maka proposisi berikut ini merupakan proposisi komposit.
Jadi dapat disimpulkan bahwa
Definisi 8.2
Proposisi komposit adalah proposisi yang memuat perangkai

Propo-
sisi komposit
Dibaca
Disebut
p A q
p bil q
Konjungsi
p v q
p atau q
Disjungsi
p q
jika p maka q
Implikasi
p ↔ q
p jika dan
hanya jika q
Biiinplikasi

ingkaran p
Negasi








Ada lima perangkai, yaitu:
 dan ­­.



3. Nilai Kebenaran Proposisi Komposit
p
q
pq
pq
pq
pq
-
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
T
T
T
F
T
F
T
T
T
F
F
T
F
F
T
T
Contoh 8.2
Diketahui proposisi elementer:
p    : Tidak ada segitiga sama kaki yang tumpul
q    : Fungsi identitas merupakan fungsi satu-satu
r      : Ada belch ketupat yang merupakan persegi panjang.
Tentukan nilai kebenaran dari proposisi di bawah ini:
      a. p, q, dan r               
     b. qr                   
     c. qr              
      d. pr                        
Penyelesaian:
    a. F, T, dan T     
    b. F                     
    c. T                      
    d. h.                 
Catatan:
Proposisi komposit dapat dibentuk dari tiga proposisi elementer p, q, dan q atau dari n buah proposisi elementer p1, p2, p3, …, pn.

4. Tabel Kebenaran
Ada dua cara untuk membuat tabel kebenaran dari proposisi komposit.
Contoh 8.3
Buatlah tabel kebenaran proposisi di bawah ini.
        a. p(p q)                  c. p()
    b.(pq)p         d. (pq)r
Penyelesaian:
a.  cara I
p                                           p
Q
pq
p(pq)
T
T
T
T
T
F
F
F
F
T
F
T
F
F
F
T




                                                                                                                                                     

b.    Cara I

p
q
pq
(pq)p
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
T

Cara II
(P
q)
P
T
T
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
F
F
T
F
1
2
1
3
1












c. cara I
p
q
pq
()
p()
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F
F
F
F
T
F
F
F
F


Cara II
p
(p
q)
T
F
F
T
T
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
F
F
T
T
F
F
T
F
F
F
1
4
3
1
2
1






b.      Cara I
p
q
r
pq
(pq)r
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
T
F
T
T
F
T
F
T
F
F
T
F
F
T
F
T
F
F
F
F
T

                                                                           cara II







Cara II
(p
q)
r
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
T
T
T
F
F
T
F
F
F
T
T
T
F
F
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
F
T
F
1
2
1
3
1








Catatan:
Hubungan antara banyaknya proposisi elementer dengan banyaknya baris pada tabel kebenaran proposisi komposit adalah sebagai berikut.

Banyaknya
proposisi elementer
Banyaknya baris
pada tabel
2
4 = 22
22
3
8 = 23
23
4
16 = 24
24


.
.
n
2n

5. Tautologi, Kontradiksi, dan
     Kontingensi

Perhatikan contoh 8.3 b.
Proposisi (pq)p selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi  elementernya. Proposisi tersebut disebut tautologi.
Definisi 8.3
Tautologi adalah proposisi komposit yang selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya.

Perhatikan contoh 8.3 c.
Proposisi p(pq) selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya. Proposisi tersebut disebut kontradiksi.
Definisi 8.4
Kontradiksi adalah proposisi komposit yang selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya.

Perhatikan contoh 8.3 a dan d.
Proposisi p(pq) dan (pq)r masing‑masing bukan tautologi dan kontradiksi. Proposisi tersebut disebut kontingensi.


Definisi 8.5
Kontingensi adalah proposisi komposit yang bukan tautologi dan kontradiksi.

6. Implikasi Logis
Perhatikan implikasi di bawah ini!
a.              p(pq)
b.              (pq)p
c.               p(pq)
Ternyata :
Proposisi a. kontingensi (contoh 8.3 a.
Proposisi b. tautologi (contoh 8.3 b.
Text Box: langkahProposisi c. diselidiki sebagai berikut.

p
(p
q)
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
T
F
T
F
F
F
1
3
1
2
1





Ternyata proporsi p(pq) tautologi.
Proporsi b. dan c. adalah implikasi yang merupakan tautologi, dan implikasi tersebut disebut implikasi logis. Sehingga dapat ditulis dengan
(pq)p
p(pq)

Definisi 8.6
Misalkan P, Q masing-masing proposisi komposit, maka proposisi PQ disebut implikasi logis jika PQ tautologi, dan dapat ditulis PQ.

Contoh 8.4
Selidiki dengan tabel kebenaran, manakah yang merupakan implikasi logis.
a. [()p]q
b. [()p]p
c. [()p]
Penyelesaian:
a. [()p]q

b. [()p]p

c. [()p]
[(
p
q)
q]
p
F
F
T
T
T
T
F
F
T
F
T
T
T
F
T
F
F
F
F
T
F
T
F
T
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
T
T
T
T
F
F
2
1
3
1
4
2
1
5
2
1





Ternyata:
Proposisi a. tautologi maka implikasi logis
Proposisi b. kontingensi maka bukan implikasi logis
Proposisi c. tautologi maka implikasi logis

7. Ekivalensi
Perhatikanlah proposisi komposit   dan  . Selidikilah apakah kedua proposisi tersebut bernilai sama?
Penyelesaian:
p
q
-p
pq
-p v q
T
T
F
T
T
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
T
T
T
Ternyata  dan  mempunyai nilai kebenaran yang sama, maka dikatakan bahwa  ekivalen , ditulis:  ek. .

Definisi 8.7
Misalkan P, Q masing-masing proposisi komposit, maka P dikatakan ekivalen Q ditulis P ek Q jika P dan Q mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Hukum-hukum Aljahar Proposisi

(Aturan Penggantian)
Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Di bawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi.

1. Hukum Idempoten (Idem)
           a.  pp ek p              b.  pp ek p
2. Hukum Asosiatif (As)
a.       (p  q)  r ek p  (q  r)
b.      (p q)  r ek p  (q r)
3. Hukum Komutatif (Kom)
a.       p  q ek q  p
b.      p q ek q  p
     4. Hukum Distributi f (Dist)
a.       p  (q  r) ek (p  q)  (p  r)
b.      p  (q  r) ek (p  q) (p  r)
     5. Hukum Identitas (Id)
           a.  p  F ek p              c.  p  F ek F
           b.  p  T ek T             d.  p  T ek p
     6. Hukum Komplemen (Komp)
a.       p  -p ek T
b.      p  -p ek F
c.       -(-p) ek p
d.      -T ek F
     7. Hukum Transposisi (Trans)
           pq ek
     8. Hukum Implikasi (Imp)
           pq ek
     9. Hukum Ekivalensi (Eki)
a.       pq ek (pq) (qp)
b.      pq ek (p q) (-q -p)
     10. Hukum Eksportasi (Eksp)
           (pq)r ek p(qr)
     11. Hukum De Morgan (DM)
a.        ek
b.       ek


9. Argumen
Perhatikanlah sekumpulan proposisi pada contoh berikut.
Contoh 8.8
1) (a). Jika seseorang orang Indonesia maka is belum pernah ke bulan
     (b). Habibie orang Indonesia
     (c). Habibie belum pernah ke bulan
Pada sekumpulan proposisi 1), proposisi (c) ditegaskan dari proposisi (a) dan (b). Oleh karena itu sekumpulan proposisi 1) disebut argumen. Selanjutnya proposisi (c) disebut konklusi dari argumen dan proposisi (a) dan (b) disebut premis dari argumen.
Argumen tersebut dapat dinyatakan dengan benta spesifik sebagai berikut.
Argumen (dalil   ) adalah sekumpulan proposisi sedemikian hingga salah satu dari proposisinya ditegaskan atas dasar proposisi lainnya. Proposisi yang ditegaskan tersebut disebut konklusi, sedang yang menegaskan disebut premis.
Setiap argumen mempunyai premis dan konklusi. Yang dimaksud konklusi auatu agumen adalah proposisi yang ditegaskan berdasarkan proposisi­proposisi yang lainnya dari argumen tersebut. Sedangkan proposisi-proposisi yang menegaskan yang memberikan alasan untuk diterimanya konklusi disebut premis. Predikat untuk suatu argumen bukan benar atau salah tetapi salt atau tidak salt. Benar atau salah adalah predikat untuk proposisi.

10. Kesahan Argumen
Definisi 8.9
Suatu argumen dikatakan sah jika argumen tersebut dinyatakan dalam suatu implikasi sedemikian sehingga premis-premisnya merupakan anteseden, konklusinya merupakan konsekuen, dan implikasi tersebut merupakan implikasi logis.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar